概率论公式

分布	分布列 $p_{k}$ 或分布密度 $p(x)$	期望	方差
$0-1$ 分布	$p_k=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1$	$p$	$p(1-p)$
二项分布 $b(n,p)$	$p_k=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda)$	$p_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,\cdots$	$\lambda$	$\lambda$
超几何分布 $h(n,N,M)$	$p_k=\frac{\dbinom{M}{k}\dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom{N}{n}},k=0,1,\cdots,r,r=min\{M,n\}$	$n\frac{M}{N}$	$\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$
几何分布 $Ge(p)$	$p_k=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,\cdots$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
负二项分布 $Nb(r,p)$	$p_k=\dbinom{k-1}{r-1}(1-p)^(k-r)p^r,k=r,r+1,\cdots$	$\frac{r}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$

分布	分布列 $p_{k}$ 或分布密度 $p(x)$	期望	方差
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$	$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infin<x<\infin$	$\mu$	$\sigma^2$
均匀分布 $U(a,b)$	$p(x)=\frac{1}{b-a},a<x<b$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $Exp(\lambda)$	$p(x)=\lambda e^{-\lambda},x\ge0$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
伽马分布 $Ga(\alpha,\lambda)$	$p(x)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},x\ge0$	$\frac{\alpha}{\lambda}$	$\frac{\alpha}{\lambda^2}$
$X^2(n)$ 分布	$\frac{p(x)=x^{n/2-1}e^{-x/2}}{\Gamma(n/2)2^{n/2}}$	$n$	$2n$
贝塔分布 $Be(a,b)$	$p(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},0<x<1$	$\frac{a}{a+b}$	$\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$
对数正态分布 $LN(\mu,\sigma^2)$	$p(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{(lnx-\mu)^2}{2\sigma^2}},x>0$	$e^{\mu+\sigma^2/2}$	$e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$
柯西分布 $Cau(\mu,\lambda)$	$p(x)=\frac1\pi\frac\lambda{\lambda^2+(x-\mu)^2},-\infin<x<\infin$	不存在	不存在
韦布尔分布	$p(x)=F^\prime(x),F(x)=1-e^{-(\frac x\eta)^m},x>0$	$\eta\Gamma(1+\frac1m)$	$\eta^2[\Gamma(1+\frac2m)-\Gamma^2(1+\frac1m)]$